A4 紙，謀殺案和囊括宇宙的數(shù)字

逸軒

A4 紙為啥是這個(gè)尺寸？

今天的故事從身邊的 A4 紙開(kāi)始講起。

前一陣網(wǎng)絡(luò)上流行曬「A4 腰」，在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下，腰部寬度不能超過(guò)多少呢？

搜索一下就能知道，A4 紙的尺寸是 210*297 毫米，也就是想達(dá)到 A4 腰，那么正面看腰部的寬度不能超過(guò) 210 毫米。

A4 紙每天都出現(xiàn)在我們身邊，那么你有沒(méi)有想過(guò)，為什么它是 210*297 這個(gè)尺寸呢？

「隨便定的唄？」也許你會(huì)想。

隨便定可不行，可以說(shuō) A4 紙的尺寸在某種程度上決定了現(xiàn)代印刷業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)，從書(shū)籍的尺寸，到打印機(jī)的尺寸，都必須遵循一個(gè)全球通用的標(biāo)準(zhǔn)才行。工業(yè)時(shí)代的一大特征，就是標(biāo)準(zhǔn)化。

德國(guó)人在 19 世紀(jì) 20 年代創(chuàng)建了自己的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)體系——德國(guó)工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)比例（DIN），這一標(biāo)準(zhǔn)很快被推行到全世界，被納入國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織的 ISO216。在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中，紙張的尺寸被定義為 A、B、C 三個(gè)系列。我們最常見(jiàn)的 A4 紙就是屬于 A 系列的。

紙張的生產(chǎn)，必然是先加工一張大紙，然后通過(guò)對(duì)折裁切，形成更小號(hào)的紙張。A4 紙名稱(chēng)中這個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字「4」，就表示它是由 A 系列最大的紙張對(duì)折裁切 4 次而來(lái)的。這 A 系列最大的紙張，就是 A0 紙。A1 紙是 A0 紙的一半，A2 紙是 A1 紙的一半，以此類(lèi)推。

好，我們知道了 A4 紙的尺寸是由 A0 紙確定的，但問(wèn)題還沒(méi)有解決，為什么 A0 紙是 841*1189 毫米這樣的尺寸呢？

首先，紙張有一個(gè)重要的指標(biāo)，叫做克數(shù)。我們?nèi)�圖文店打印的時(shí)候，對(duì)方會(huì)問(wèn)我們選用多少克的紙張。我們知道這個(gè)克數(shù)代表了紙張的厚度，但因?yàn)閷?shí)際中紙張的厚度很難測(cè)量，所以國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中換了一個(gè)方式來(lái)表達(dá)。這個(gè)紙張的克數(shù)指的就是「1 平方米的紙張的重量」。

為了方便把這個(gè)「1 平方米的紙張的重量」定量，最好的方式就是 A0 的紙面積恰好是 1 平方米，這樣生產(chǎn)出來(lái)就可以直接測(cè)量了。

最大紙張的面積確定了，剩下的就是要確定它的邊長(zhǎng)了。我們看到現(xiàn)在 A0 紙的尺寸是 841*1189 毫米，這兩個(gè)數(shù)字的乘積是 999.949，很接近但不是精確的 1 平方米。

看上去這個(gè)尺寸很別扭，不好記又不湊整，如果讓你來(lái)定義一張 1 平方米的紙張的邊長(zhǎng)，你會(huì)怎么定義呢？

也許你首先會(huì)想到，那就干脆定為 1000*1000 毫米不就好啦！

好，我們就按照這個(gè)思路來(lái)確定紙張的尺寸，看看會(huì)不會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題。

上面說(shuō)了，更小的紙張是由更大的紙張對(duì)折裁切一半而來(lái)的（這樣浪費(fèi)最少），那么我們把這張 1000*1000 毫米的 A0 紙對(duì)折，得到的 A1 紙的尺寸就是 1000*500 毫米，再對(duì)折得到的 A2 紙尺寸就是 500*500 毫米，以此類(lèi)推。

這樣的紙張規(guī)格雖然在生產(chǎn)上沒(méi)有問(wèn)題，但在實(shí)際的使用中就會(huì)出現(xiàn)一系列的問(wèn)題。

比如我們?cè)?A3 紙上排好了一篇圖文，想要把它等比例縮小到 A4 紙的時(shí)候，要么會(huì)留出很大的白邊，要么就會(huì)拉伸圖像。

這兩種情況都不是我們想要的，我們需要紙張被裁切一半之后，長(zhǎng)寬比仍然和原來(lái)一樣。看到這兒你可以停一下問(wèn)問(wèn)自己，這個(gè)問(wèn)題怎么解決？

其實(shí)這是一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)就能解決的問(wèn)題。

我們假設(shè)我們想要的這種紙張的長(zhǎng)邊是 a，短邊是 b，裁切一半后的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊變成了 b，短邊變成了 a/2，就是下面的這個(gè)長(zhǎng)方形。

我們希望的結(jié)果是大小兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)短邊比例一樣，也就是：

a/b=2b/a。

方程兩邊都乘以 ab，得到：

a2=2b2

再變換一下得到：

(a/b)2=2

好，我們拿到了這樣一個(gè)結(jié)果，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊和短邊的比值是一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字的平方等于 2。

生活在現(xiàn)代的我們知道，這個(gè)數(shù)字是√2，用計(jì)算器就可以算出來(lái)，它的數(shù)值是 1.4142135623731……

再來(lái)看看我們的紙張尺寸，從 A0 紙的 841*1189 毫米，到 A4 紙的 210*297 毫米，都是非常接近于 1.414 這個(gè)比例的。

這個(gè)比例非常好的解決了上述任意比例紙張的問(wèn)題。畫(huà)在 A4 紙上的圖畫(huà)可以等比例放大到 A0 海報(bào)上；手邊只要有某一款 A 系列的紙，即能做出任意大小的 A 系列。

當(dāng)然，√2：1 這個(gè)比例值是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，實(shí)際生產(chǎn)中人們只能取它的近似值。相信你剛剛讀到這個(gè)√2 的時(shí)候，也沒(méi)有覺(jué)得它有什么神秘，想去深挖它究竟是個(gè)什么東西。

而實(shí)際上，我們剛剛放出來(lái)的，是一個(gè)十足的魔鬼，它的出現(xiàn)在歷史上掀起了一場(chǎng)軒然大波，還有人在這場(chǎng)風(fēng)波中為之喪命。

如果你堅(jiān)持看到這里還覺(jué)得有點(diǎn)無(wú)聊，那么恭喜你，好戲即將開(kāi)始。

2.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

公元前 500 年，有一位牛人，叫畢達(dá)哥拉斯。如果你對(duì)這位牛人有點(diǎn)兒陌生，那你一定知道「畢達(dá)哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方」。

在我國(guó)，這個(gè)定理就是著名的勾股定理。

在畢達(dá)哥拉斯的時(shí)代，這個(gè)定理還有個(gè)有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明這個(gè)定理的時(shí)候太興奮了，傳說(shuō)殺了 100 頭牛來(lái)祭祀神明，感謝神明賜給他的靈感。

這位牛人創(chuàng)辦了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，叫做畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。你可別認(rèn)為這個(gè)學(xué)派和現(xiàn)在的什么后現(xiàn)代美術(shù)學(xué)派是一回事，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在當(dāng)時(shí)那基本就是個(gè)宗教。

比如這個(gè)學(xué)派中有「不允許吃豆子」、「不允許用鐵撥弄火」等奇怪的規(guī)定，畢達(dá)哥拉斯本人作為「教主」，稱(chēng)呼自己創(chuàng)辦的學(xué)派為「教團(tuán)」，他給學(xué)生們講課的時(shí)候身穿白色法衣，頭頂金冠站在法壇上。

哲學(xué)家赫拉克利特這樣評(píng)價(jià)他：「畢達(dá)哥拉斯讀了大量的書(shū)，親自創(chuàng)造出智慧、博識(shí)與妖術(shù)。」

那么這個(gè)「畢達(dá)哥拉斯教團(tuán)」信奉的神靈是什么呢？——?jiǎng)e笑，他們信數(shù)字。

教團(tuán)相信，整數(shù)像原子一樣，構(gòu)成了宇宙中的一切，并描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整數(shù)或整數(shù)的比來(lái)表示，除此之外，就再?zèng)]有什么了。

也許你會(huì)覺(jué)得這種想法很幼稚，但聽(tīng)聽(tīng)下面的描述，也許你會(huì)覺(jué)得畢達(dá)哥拉斯說(shuō)的很有道理。

我們問(wèn)一個(gè)問(wèn)題：整數(shù)，以及兩個(gè)整數(shù)相除的分?jǐn)?shù)，可以占滿(mǎn)整個(gè)數(shù)軸嗎？

我們先從整數(shù)（也就是分母為 1 的分?jǐn)?shù)開(kāi)始），把這些數(shù)字扔到數(shù)軸上。

嗯，有一些空隙，沒(méi)填滿(mǎn)。那我們?cè)侔阉�有分母�?2 的數(shù)字（上面數(shù)字的一半）插進(jìn)去。

然后再插入分母為 4 的數(shù)字：

隨著分母的不斷增大，我們插入的數(shù)字會(huì)越來(lái)越多，插到數(shù)軸上的點(diǎn)將會(huì)越來(lái)越密集。任意給出一小段長(zhǎng)度，比如 1/1000，那么我們可以找出 1/10000 這樣小的數(shù)字插進(jìn)去。

無(wú)論多么小的兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，我們都能插入分母都更大的數(shù)字插進(jìn)去（也就是更精確的整數(shù)比值），比如 1/7 和 2/7 之間，我們想要一個(gè)更精確的數(shù)，那么可以把 3/14 插進(jìn)去。

于是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為「組成和描述世界的，只有整數(shù)和整數(shù)之比」這個(gè)觀點(diǎn)，你是不是覺(jué)得也很有道理？

然而，這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)的，而且錯(cuò)的很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)。

畢達(dá)戈拉斯有一個(gè)學(xué)生，叫希勃索斯。這個(gè)哥們勤奮好學(xué)，善于觀察分析和思考。一天，他跑到畢達(dá)哥拉斯面前問(wèn)他：「邊長(zhǎng)為 1 的正方形，其對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是多少呢？」

畢達(dá)哥拉斯聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題就愣了，根據(jù)他證明的定理，邊長(zhǎng)為 1 的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的平方應(yīng)該等于 2（即 12+12），那么什么數(shù)字的平方等于 2 呢？

畢達(dá)哥拉斯尋找了很久都沒(méi)有找到，他希望能找到兩個(gè)很大很大的數(shù)字相除，結(jié)果等于這個(gè)數(shù)字。但無(wú)論找到的分?jǐn)?shù)的分子和分母多大，這個(gè)比值都只能很接近，卻不能精確地等于 2 開(kāi)平方（當(dāng)時(shí)還沒(méi)有√2 這種表達(dá)方式）。

也許你會(huì)想，數(shù)字要多大有多大，現(xiàn)在找不到，不代表以后找不到，也許有某兩個(gè) 100 億位的數(shù)字相除，結(jié)果正好等于 2 開(kāi)平方呢？

答案是沒(méi)有。不需要一直找下去，就可以直接證明，√2 不是任何兩個(gè)整數(shù)之比。如果你有興趣可以看看下面這段證明，不感興趣的話(huà)跳過(guò)去也不影響閱讀。

反證法：

假設(shè)√2=p/q，

p、q 為互質(zhì)的正整數(shù)

（兩個(gè)正整數(shù),除了 1 以外,沒(méi)有其他公約數(shù)時(shí),稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)，非互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)相除，可以消去公約數(shù)而成為更小的分?jǐn)?shù)，比如 2/4 可以消掉公約數(shù) 2 變成 1/2）

兩邊平方：2=p2/q2

p2=2q2 ——（1）

2q2顯然為偶數(shù),所以 p2也是偶數(shù)，所以 p 必為偶數(shù)

設(shè) p=2k（k 為正整數(shù)）

則（1）式變?yōu)椋?k2=2q2

q2=2k2

同理得 q 也為偶數(shù)

兩個(gè)偶數(shù)必有一個(gè)公約數(shù) 2

與題設(shè)的 p、q 互質(zhì)矛盾

故不存在互質(zhì)的正整數(shù) p 和 q 構(gòu)成一個(gè)等于√2 的分?jǐn)?shù)

希勃索斯的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，從根本上動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯神教的立教之本。畢達(dá)戈拉斯無(wú)法解釋這種“怪” 現(xiàn)象，他驚駭極了，整個(gè)學(xué)派的理論體系將面臨崩潰。忐忑不安下，他采取了錯(cuò)誤的方式：下令封鎖消息，也不準(zhǔn)西佰斯再研究和談?wù)摯耸隆?/p>

希勃索斯在畢達(dá)戈拉斯的高壓下，心情非常痛苦，但在事實(shí)面前，他認(rèn)為根號(hào) 2 是客觀存在的，老師的理論體系無(wú)法解釋它，這說(shuō)明老師的理論有問(wèn)題。

后來(lái)，他不顧一切的將自己的發(fā)現(xiàn)和看法傳揚(yáng)了出去，整個(gè)學(xué)派頓時(shí)轟動(dòng)了，也使畢達(dá)戈拉斯惱羞成怒，無(wú)法容忍這個(gè)“叛逆”。決定對(duì)希勃索斯施加加懲罰。后者聽(tīng)到風(fēng)聲后，連夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的后面追來(lái)了幾艘小船，當(dāng)他還未醒悟過(guò)來(lái)的時(shí)候，畢達(dá)戈拉斯學(xué)派的打手已出現(xiàn)在他的面前，他手腳被綁后，投入到了浩瀚無(wú)邊的大海之中。這位年輕的數(shù)學(xué)家就這樣為了知識(shí)獻(xiàn)出了生命。

后來(lái)的人們把希勃索斯發(fā)現(xiàn)的這種數(shù)稱(chēng)之為無(wú)理數(shù)，之前畢達(dá)哥拉斯所認(rèn)為是宇宙全部的數(shù)（整數(shù)和兩個(gè)整數(shù)至比），稱(chēng)為有理數(shù)。

實(shí)際上這兩個(gè)稱(chēng)呼的翻譯是錯(cuò)誤的，有理數(shù)來(lái)自于單詞「rational number」, 詞根 ratio 意思除了「合理」之外，還有一個(gè)含義是「比率」，所以更準(zhǔn)切的翻譯是「可被比例描述的數(shù)」和「不可被比例描述的數(shù)」。只不過(guò)叫習(xí)慣了，也就沒(méi)必要改了。

后來(lái)的人們又證明，不僅存在著無(wú)理數(shù)，而且無(wú)理數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)。上述不斷增大分母插入分?jǐn)?shù)的方法，無(wú)論進(jìn)行到多少，數(shù)軸上都有著數(shù)不清的「縫隙」，被無(wú)理數(shù)填滿(mǎn)。

在 0 和 1 之間隨便插一根針，你有幾乎是 100%的概率得到一個(gè)無(wú)理數(shù)。這個(gè)證明有點(diǎn)兒復(fù)雜，我放到最后的推薦書(shū)目里。

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)和芝諾關(guān)于無(wú)限的四大悖論，共同掀起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。這又是另一個(gè)龐大的故事了。

3.細(xì)思極恐的無(wú)理數(shù)

現(xiàn)在回頭看看，A4 紙里面藏著的√2，是不是一個(gè)十足的魔鬼？

那么這個(gè)√2 到底是個(gè)什么東西呢？前面我們說(shuō)到，用越來(lái)越小的分?jǐn)?shù)，可以把數(shù)軸填的無(wú)限滿(mǎn)，似乎在直覺(jué)上，無(wú)論我們把數(shù)軸放大多少倍，總能有一個(gè)分?jǐn)?shù)插入到更小的區(qū)域中去。但無(wú)論我們插入的數(shù)有多精確，小數(shù)點(diǎn)之后有多少位，它都只能夠「接近」√2，而我們卻永遠(yuǎn)不知道它的精確值。

我們先來(lái)說(shuō)說(shuō)，這個(gè)√2 到底等于多少？

如果我們?nèi)ベI(mǎi)布，肯定不能和店員說(shuō)，給我√2 米的布，人家沒(méi)法給你量。我們知道√2 的數(shù)值近似等于 1.414，但這個(gè)數(shù)值還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠精確。

希勃索斯發(fā)現(xiàn)的「邊長(zhǎng)為 1 的正方形對(duì)角線(xiàn)等于√2」這個(gè)方法也不行，即便你可以毫無(wú)誤差地畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 米的正方形，也無(wú)法精確地測(cè)量出對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度。

最早的計(jì)算方法是這樣的，我們一個(gè)數(shù)位一個(gè)數(shù)位地來(lái)不斷接近它。

首先，我們知道 1<2<4，所以 1<√2<2，這就確定了第一位 1。

然后我們依次計(jì)算(1.1)2、(1.2)2、(1.3)2，得到

(1.4)2=1.96<2

(1.5)2=2.25>2

我們又得到√2 是介于 1.4 和 1.5 之間的數(shù)，這第二位 4 也就確定了。

用這種笨辦法，我們可以一位接一位永遠(yuǎn)算下去。

隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，人們發(fā)明了各種方法來(lái)計(jì)算√2 的數(shù)值，其中最簡(jiǎn)潔的表達(dá)是這個(gè)無(wú)窮無(wú)盡的連除式：

√2 的小數(shù)位，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。可以用數(shù)學(xué)工具證明，所有的分?jǐn)?shù)要么是有限位的小數(shù)，要么是循環(huán)小數(shù)；而所有的無(wú)理數(shù)，都一定是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

這個(gè)「無(wú)限且不循環(huán)」又是什么呢？細(xì)細(xì)想想，這種數(shù)真的很怪異。

在幾何上，它有一個(gè)確定的長(zhǎng)度，在數(shù)軸上有一個(gè)非常確定的位置。如下圖，以邊長(zhǎng)為 1 的正方形的對(duì)角線(xiàn)為半徑畫(huà)一個(gè)圓，圓與數(shù)軸的交點(diǎn)就是√2。

然而，當(dāng)我們想把它數(shù)出來(lái)的時(shí)候，它就無(wú)止境地向遠(yuǎn)方跑，使我們無(wú)法掌握它。既然缺乏準(zhǔn)確性，又能么能叫做數(shù)呢？

這個(gè)在公元前就被放出來(lái)的魔鬼，雖然在兩千多年來(lái)一直被全世界的人們使用，卻又讓人們一直在邏輯上無(wú)法接受它的存在。甚至有很多人人為，是我們基于整數(shù)的整個(gè)數(shù)學(xué)體系出了問(wèn)題。

有很多人（比如東方的數(shù)學(xué)家和歐幾里得學(xué)派的幾何學(xué)家）則是完全從實(shí)用的角度出發(fā)，不管什么意義，只要它存在，就拿來(lái)使用。

無(wú)理數(shù)之謎直到十九世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)界發(fā)展對(duì)微積分和連續(xù)性的研究，才慢慢解開(kāi)。此時(shí)的數(shù)學(xué)，已經(jīng)離人們的直覺(jué)越來(lái)越遠(yuǎn)。這個(gè)故事若講起來(lái)就很長(zhǎng)了。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，人們?cè)诜e分中引入了「連續(xù)」的概念，與上面提到的「不斷增加分母的大小插入分?jǐn)?shù)」的理念是很不同的。后者無(wú)論進(jìn)行到多精密，都是把數(shù)軸看作一個(gè)個(gè)珠子串起來(lái)的項(xiàng)鏈（盡管珠子可以非常小），而「連續(xù)」的理念則是認(rèn)為數(shù)軸是無(wú)需放大從本質(zhì)上就是沒(méi)有縫隙的。

由珠子串起來(lái)的項(xiàng)鏈，在用一把非常鋒利的刀砍下去的時(shí)候，會(huì)有可能砍空。比如我們把所有負(fù)有理數(shù)和平方不超過(guò) 2 的正有理數(shù)看作左半段，把所有平方超過(guò) 2 的正有理數(shù)看作右半段，如果數(shù)軸上只有有理數(shù)，那用到砍在這兩半之間就會(huì)砍個(gè)空。誰(shuí)填補(bǔ)在這里呢？就是我們的老朋友√2。

4.更怪異的超越數(shù)

電影和漫畫(huà)中經(jīng)常有這樣的橋段：當(dāng)主人公費(fèi)了九牛二虎之力終于戰(zhàn)勝了 BOSS 之后，卻發(fā)現(xiàn)在他的背后還有更大的 BOSS 存在。

在人們使用微積分工具，終于找到了無(wú)理數(shù)的存在意義并真正理解它的時(shí)候，又一頭怪獸被放了出來(lái)。

現(xiàn)在的我們都知道圓的周長(zhǎng)與直徑之比π≈3.1415926，也知道它是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，即無(wú)理數(shù)。

然而，人們對(duì)π的理解，卻比√2 慢得多。

從π出現(xiàn)到確定它是無(wú)理數(shù)，人類(lèi)花了三千年的時(shí)間。

公元前 1650 年，埃及人用（16/9）2≈3.16 來(lái)近似π的值。

公元前 300 多年，阿基米德用 22/7≈3.14 來(lái)近似π值。

前面我們提到了√2 的笨算法，所以古人可以很容易地推算它的數(shù)值。兩千多年前人們就能把它算的很精確。而把π值從 3.14 推進(jìn)到 3.1416（三國(guó)時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽）就用了 500 多年的時(shí)間。

又過(guò)了 200 多年，祖沖之用 355/113 來(lái)近似的估計(jì)π，將π的精度計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 7 位。

π與√2 還有一個(gè)很大的不同，后者是方程 x2=2 的解，而在 1882 年，德國(guó)的林德曼證明了，π不是任何一個(gè)整數(shù)系代數(shù)方程的根。

好吧，無(wú)理數(shù)不能用任何兩個(gè)整數(shù)相除來(lái)表達(dá)，我們好不容易才弄清楚，這又出來(lái)一種不僅不能用相除，而且是不能用任何代數(shù)方程來(lái)表達(dá)的數(shù)！

人們給了這種數(shù)一個(gè)更辣眼的名字：超越數(shù)。

值得一提的是，東方和西方的數(shù)學(xué)家都不約而同地使用圓的內(nèi)切或外切多邊形來(lái)逼近π的值（不斷增加多邊形的邊數(shù)來(lái)越來(lái)越接近圓）。祖沖之得出的 355/113，要算到 24576 邊形！天曉得這位仁兄是怎么算的。

后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)π可以通過(guò)一些數(shù)列的極限來(lái)表示，比如萊布尼茨公式：

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……

用這一類(lèi)的方法，后人又算出了更精確的π值。比如德國(guó)的魯?shù)婪蛩愠鲂��?shù)點(diǎn)后第 35 位。

目前人們根據(jù)這些公式編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序，已經(jīng)把π的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 60 萬(wàn)億位。

然而，這已經(jīng)沒(méi)什么實(shí)際的測(cè)量意義了，即便我們僅僅使用小數(shù)點(diǎn)后 40 位的π來(lái)計(jì)算整個(gè)可視宇宙的周長(zhǎng)，誤差也不會(huì)超過(guò)一個(gè)原子。

那么，人們?yōu)槭裁催�要費(fèi)那么大力來(lái)測(cè)算π的精確值呢？

因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)界有一個(gè)巨大的猜想：π，極有可能是一個(gè)合取數(shù)。

啥？合取數(shù)？

我保證這是這篇文章中出現(xiàn)的最后一個(gè) BOSS 了。

在影視劇《疑犯追蹤》中，哈羅德·芬奇說(shuō)了這樣一段話(huà)：

圓周長(zhǎng)與直徑之比，無(wú)窮無(wú)盡，永不重復(fù)。在這串?dāng)?shù)字中，包含每種可能的組合。你的生日、儲(chǔ)物柜密碼、社保號(hào)碼，都在其中某處。如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)換為字母，就能得到所有的單詞，無(wú)數(shù)種組合。你嬰兒時(shí)發(fā)出的第一個(gè)音節(jié)，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過(guò)或說(shuō)過(guò)的每件事，宇宙中所有無(wú)限的可能，都在這個(gè)簡(jiǎn)單的圓中。

這種包含全部數(shù)字組合可能的數(shù)，就叫做合取數(shù)。

在下面這個(gè)網(wǎng)站中，儲(chǔ)存了 2 億位的π值。你可以去里面檢索任意一段數(shù)字串——比如暗戀女孩的生日。都可以檢索到它在π的小數(shù)點(diǎn)后多少位。

π值檢索

即便你檢測(cè)不到，也不代表它不在π中，別忘了，我們目前已經(jīng)計(jì)算到第 60 萬(wàn)億位，而后邊還有無(wú)窮無(wú)盡的位數(shù)，而這里只儲(chǔ)存了 2 億位。

科普作家卡爾薩根著名的科幻小說(shuō)《接觸》中，就描述到主人公被外星人指引，得到一個(gè)新的算法，把π值計(jì)算到非常靠后的位置時(shí)，得到了規(guī)律性的字符串。在進(jìn)行 11 進(jìn)制的轉(zhuǎn)換后，主人公得到了可以由 0 和 1 組成的陣列，陣列中 0 和 1 清晰地拼出一個(gè)完美的圓。外星人告訴它，這就是宇宙超級(jí)文明，或是上帝留給所有宇宙文明的「大消息」。無(wú)論你來(lái)自哪個(gè)星系，是什么樣的生物，π這個(gè)數(shù)值已經(jīng)被一個(gè)設(shè)計(jì)者根植在這個(gè)宇宙的基本量中。π，是設(shè)計(jì)者留下的簽名。

基于π很可能有的合取性，有人半開(kāi)玩笑地設(shè)計(jì)了一套文件系統(tǒng)“πfs”，你的所有的數(shù)據(jù)都很可能存在π的某一個(gè)地方，只要找到那個(gè)地方就好了。這種方式可以極大的壓縮數(shù)據(jù)。比如把一本書(shū)編制成二進(jìn)制數(shù)據(jù)，找到這個(gè)二進(jìn)制數(shù)據(jù)在π中的位置，然后記錄下這個(gè)位置即可。

當(dāng)然，這只是個(gè)玩笑，不說(shuō)π尚未被證明是合取數(shù)，即便是，你要的數(shù)據(jù)在π中的位數(shù)，也許也是一個(gè)比數(shù)據(jù)本身更大的天文數(shù)字呢！

5.兩本書(shū)

人們從基本的計(jì)數(shù)需要發(fā)明了整數(shù)，然后由于分配的需要發(fā)明了分?jǐn)?shù)，又由于記賬的需求發(fā)明了負(fù)數(shù)。從√2 的發(fā)現(xiàn)的時(shí)候起，人們開(kāi)始逐漸脫離直覺(jué)，正式進(jìn)入正式的抽象數(shù)學(xué)領(lǐng)域。以至于后來(lái)出現(xiàn)的虛數(shù)、極限、微分和積分，仿佛只為了折磨上學(xué)的孩子而產(chǎn)生的。

而實(shí)際上并非如此。每一種新的矛盾的出現(xiàn)，都迫使人們?yōu)榻鉀Q實(shí)際的問(wèn)題而發(fā)明新的數(shù)學(xué)工具，不斷擴(kuò)充數(shù)的概念。從一開(kāi)始的整數(shù)，到分?jǐn)?shù)，到有理數(shù)，到實(shí)數(shù)，再到復(fù)數(shù)，數(shù)域的不斷擴(kuò)大，是為了滿(mǎn)足人們?cè)絹?lái)越復(fù)雜的計(jì)算需求。

整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史，就是一次次出現(xiàn)危機(jī)，并一次次解決這些危機(jī)的歷史。這歷史讀起來(lái)驚心動(dòng)魄，妙趣橫生。

這篇文章由于篇幅有限，且考慮到很多人對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言不感興趣，有很多問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)說(shuō)。比如「所有分?jǐn)?shù)不是有限位小數(shù)，就是無(wú)限循環(huán)小數(shù)」的證明，比如微積分如何解決了無(wú)理數(shù)之謎，比如為什么無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多得多（即使有理數(shù)的數(shù)量已經(jīng)是無(wú)限多），再比如文章最后提到的數(shù)系的擴(kuò)張。

如果你堅(jiān)持看到這里還覺(jué)得有點(diǎn)意思又還不過(guò)癮，那么我強(qiáng)烈推薦兩本書(shū)，一本是遠(yuǎn)山啟的《數(shù)學(xué)與生活》，另外一本是張景中的《從√2 談起》，上述內(nèi)容在這兩本書(shū)中都有更詳細(xì)的闡述，相信你讀完一定大呼過(guò)癮，原來(lái)數(shù)學(xué)這么有意思！

如果你有孩子在讀中學(xué)，那么更加建議你買(mǎi)上兩本送給他們，一定能燃起他們對(duì)數(shù)學(xué)強(qiáng)烈的興趣，而不像我們這一代的大多數(shù)人，學(xué)了「假的數(shù)學(xué)」。